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\chapter{补充}
\section{矩形双偏心基础的计算}
这部分是用来计算矩形基础在双偏心受力情况下的地基承载力的。但是双向
受力的情况用的很少，可以说基本用不到。因此这部分实际上是算着玩的。

\subsection{三棱锥的情况}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/add_1.jpg}
\end{center}
基础为矩形。图中各个点的坐标为
\[ p_1 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},0) \]
\[ p_2 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},h) \]
\[ p_3 = (\frac{b}{2} - c_1,\frac{L}{2},0) \]
\[ p_4 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2} - c_2,0) \]
三棱锥的形心坐标为~$(x,y,z)$，它们是
\[ x = \frac{b}{2} - \frac{c_1}{4} \]
\[ y = \frac{L}{2} - \frac{c_2}{4} \]
\[ z = \frac{h}{4} \]
三棱锥的体积是
\[ V = \frac{c_1c_2h}{6} \]
反过来表示是
\[ c_1 = 4(\frac{b}{2} - x) \]
\[ c_2 = 4(\frac{L}{2} - y) \]
\[ h = \frac{6V}{c_1c_2} \]
这样如果基础的偏心率满足
\[ e_x \geq \frac{b}{4}, \quad e_y \geq \frac{L}{4} \]
时就可以直接套这个结果，计算出地基反力的形状和最大地基反力。


\newpage
\subsection{棱台一的情况}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/add_2.jpg}
\end{center}
棱台的数据都是通过大棱锥减去小棱锥得到的。每个点的坐标是
\[ p_1 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},0),\quad
   p_2 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},h),\quad 
   p_3 = (\frac{b}{2}-c_1,\frac{L}{2},0) 
\]

\[ p_4 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2},0),\quad
   p_5 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2},\frac{hc_2}{c_1}),\quad
   p_6 = (\frac{b}{2}-c_2,-\frac{L}{2},0)
\]

\[ p_7 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2} - \frac{c_2L}{(c_1 - c_2)},0) \]
\midpar

两个参数是
\[ h_2 = \frac{hc_2}{c_1} \]
\[ a_2 = \frac{c_2L}{c_1 - c_2} \]
\midpar

小棱锥的形心~$p_1$~与体积~$V_1$~为
\[ x_1 = \frac{b}{2} - \frac{c_2}{4} \]
\[ y_1 = -\frac{L(2c_1 - c_2)}{4(c_1 - c_2)} \]
\[ z_1 = \frac{hc_2}{4c_1} \]
\[ V_1 = \frac{hLc_2^3}{6c_1(c_1 - c_2)} \]
\midpar

大棱锥的形心~$p_2$~与体积~$V_2$~为
\[ x_2 = \frac{b}{2} - \frac{c_1}{4} \]
\[ y_2 = \frac{L(c_1 - 2c_2)}{4(c_1 - c_2)} \]
\[ z_2 = \frac{h}{4} \]
\[ V_2 = \frac{hLc_1^2}{6(c_1 - c_2)} \]
\midpar

棱台的体积~$V$~是
\[ V = \frac{hL}{6c_1}\cdot\frac{(c_1^3 - c_2^3)}{(c_1 - c_2)} \]
棱台的重心~$p$~满足方程
\[ V_1p_1 + Vp = V_2p_2 \]
经过计算等价于
\[ (c_1^3 - c_2^3)p = c_1^3p_2 - c_2^3p_1 \]
这样解出来棱台的重心坐标为
\[ x = \frac{b}{2} - \frac{(c_1 + c_2)(c_1^2 + c_2^2)}{4(c_1^2 + c_1c_2 + c_2^2)} \]
\[ y = \frac{L(c_1^2 - c_2^2)}{4(c_1^2 + c_1c_2 + c_2^2)} \]
可以看出，它的重心只与~$c_1,c_2$~有关。
\midpar\hrule\midpar

为了更方便使用，继续计算。让
\[ k = c_2/c_1,\quad k\in [0,1] \]
\[ c_1 \geq c_2,\quad c_1 \in[0,b] \]
这样方程变成
\[ x = \frac{b}{2} - \frac{(c_1 + c_2)(1 + k^2)}{4(1 + k + k^2)} \]
\[ y = \frac{L(1 - k^2)}{4(1 + k + k^2)} \]
让~$y = e_y$~得到一个一元二次方程
\[ (4e_y + L)k^2 + 4e_yk + (4e_y - L) = 0 \]
判别式
\[ \Delta = 4L^2 - 3(4e_y)^2 = 4(L^2 - 12e_y^2) \]
要求判别式大于零，这样方程才有根，也就是要求
\[ e_y \leq \frac{L}{2\sqrt{3}} \]
如果判别式大于零，方程的根是
\[ k = \frac{-4e_y + \sqrt{\Delta}}{2(4e_y + L)} \]
要求~$k$~满足~$k\in[0,1]$。满足这个条件时继续下面的计算。方程组
\[ c_2 = c_1k \]
\[ c_1 + c_2 = K \]
\[ K = \frac{4(b/2 - e_x)(1 + k + k^2)}{(1 + k^2)} \]
解出来
\[ c_1 = \frac{K}{k + 1} \]
\[ c_2 = kc_1 \]
这样一次性的确定了地基反力的形状，不需要进行迭代计算了。然后再计算出最
大地基反力。就是最后的结果。如果计算过程中有条件不满足，说明不符合这个
模型。换另外的模型进行计算。


\newpage
\subsection{棱台二的情况}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/add_3.jpg}
\end{center}
图中两个参数是
\[ h_1 = \frac{c_1h}{c_2},\quad a_1 = \frac{c_1b}{(c_2 - c_1)} \]
图中点的坐标是
\[ p_1 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},0),\quad
   p_2 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},h),\quad
   p_3 = (\frac{b}{2}.\frac{L}{2} - c_2,0)
\]
\[ p_4 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2},0),\quad
   p_5 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2},\frac{c_1h}{c_2}),\quad
   p_6 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2} - c_1,0)
\]
\[ p_7 = (-\frac{b}{2} - \frac{c_1b}{(c_2 - c_1)},\frac{L}{2},0) \]
\midpar

小棱锥的重心与体积为
\[ R_1 = (-\frac{b}{2} - \frac{c_1b}{4(c_2 - c_1)},
          \frac{L}{2}-\frac{c_1}{4},
          \frac{c_1h}{4c_2}) 
\]
\[ V_1 = \frac{bhc_1^3}{6c_2(c_2 - c_1)} \]
\midpar

大棱锥的重心与体积为
\[ R_2 = (\frac{b}{4} - \frac{c_1b}{4(c_2 - c_1)}, \frac{L}{2}-\frac{c_2}{4}, \frac{h}{4}) \]
\[ V_2 = \frac{bhc_2^2}{6(c_2 - c_1)} \]
\midpar

棱台的体积为
\[ V = \frac{bh(c_2^3 - c_1^3)}{6c_2(c_2 - c_1)} \]
棱台的重心为
\[ x = \frac{b(c_2^2 - c_1^2)}{4(c_1^2 + c_1c_2 + c_2^2)} \]
\[ y = \frac{L}{2} - \frac{(c_1 + c_2)(c_1^2 + c_2^2)}{4(c_1^2 + c_1c_2 + c_2^2)} \]
\midpar\hrule\midpar

现在让
\[ k = c_1/c_2,\quad k\in[0,1] \]
那么重心坐标变成
\[ x = \frac{b(1 - k^2)}{4(k^2 + k + 1)} \]
\[ y = \frac{L}{2} - \frac{(c_1 + c_2)(1 + k^2)}{4(k^2 + k + 1)} \]
现在让
\[ x = e_x ,\quad y = e_y \]
先算第一个。整理成一个方程
\[ (4e_x + b)k^2 + 4e_xk + (4e_x - b) = 0 \]
这是一个一元二次方程。开口向上。它的对称轴小于零。现在要求这个方程有解，
首先判别式要大于零。然后有两个根，较小的那个根小于对称轴，舍弃不用。使
用较大的那个根。较大的那个根还必须大于0，小于1。这样才算有解。判别式是
\[ \Delta = 4(b^2 - 12e_x^2) \geq 0 \]
结果是
\[ e_x \leq \frac{b}{2\sqrt{3}} \]
这个要求满足之后，方程有零点。结果是
\[ k = \frac{-4e_x + \sqrt{\Delta}}{2(4e_x + b)} \]
然后再检验条件
\[ k \in [0,1] \]
如果不满足要求，说明不符合这个模型。如果满足要求，继续计算。
\[ c_1/c_2 = k \]
\[ c_1 + c_2 = K \]
\[ K = \frac{2(L - 2e_y)(k^2 + k + 1)}{(1 + k^2)} \]
结果是
\[ c_2 = \frac{K}{k+1} \]
\[ c_1 = kc_2 \]
还需要检查条件
\[ c_2 \in [0,L] \]
如果满足，就成功。不满足，说明不符合这个模型。如果都满足，就得到了这种
受力状态下地基反力的形状。然后可以计算出最大地基反力的最大值。


\newpage
\subsection{大棱锥减去两个小棱锥的情况}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/add_4.jpg}
\end{center}
这是比较复杂的状态。要直接用数学公式表示出它的重心和体积是有困难的。每
个点的坐标是
\[ p_1 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2},0),\quad
   p_2 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2},\frac{(L - c1)hc_2}{(Lb - c_1c_2)})
\]
\[ p_3 = (\frac{b}{2} - c_2,-\frac{L}{2},0),\quad
   p_4 = (\frac{b}{2},-\frac{L}{2} - \frac{(L - c_1)c_2}{(b - c_2)},0)
\]
\[ p_5 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2},0),\quad
   p_6 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2},\frac{(b - c_2)hc_1}{(Lb - c_1c_2)})
\]
\[ p_7 = (-\frac{b}{2},\frac{L}{2} - c_1,0),\quad
   p_8 = (-\frac{b}{2} - \frac{(b - c_2)c_1}{L - c_1},\frac{L}{2},0)
\]
\[ p_9 = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},0),\quad p_{10} = (\frac{b}{2},\frac{L}{2},h) \]
\midpar

几个参数是
\[ a_1 = \frac{(b - c_2)c_1}{(L - c_1)},\quad h_1 = \frac{(b - c_2)hc_1}{(Lb - c_1c_2)} \]
\[ a_2 = \frac{(L - c_1)c_2}{(b - c_2)},\quad h_2 = \frac{(L - c_1)hc_2}{(Lb - c_1c_2)} \]
\midpar

左边的小棱锥的重心与体积是
\[ R_1 = (-\frac{b}{2} - \frac{(b - c_2)c_1}{4(L - c_1)},
         \frac{L}{2} - \frac{c_1}{4},
         \frac{(b - c_2)hc_1}{4(Lb - c_1c_2)})
\]
\[ V_1 = \frac{h(b - c_2)^2c_1^3}{6(L - c_1)(Lb - c_1c_2)} \]
\midpar

下边的小棱锥的重心与体积是
\[ R_2 = (\frac{b}{2} - \frac{c_2}{4},
          -\frac{L}{2} - \frac{(L - c_1)c_2}{4(b - c_2)},
          \frac{(L - c_1)hc_2}{4(Lb - c_1c_2)})
\]
\[ V_2 = \frac{h(L - c_1)^2c_2^3}{6(b - c_2)(Lb - c_1c_2)} \]
\midpar

整个大棱锥的重心与体积是
\[ R_3 = (\frac{b}{4} - \frac{(b - c_2)c_1}{4(L - c_1)},
          \frac{L}{4} - \frac{(L - c_1)c_2}{4(b - c_2)},
          \frac{h}{4})
\]
\[ V_3 = \frac{h(Lb - c_1c_2)^2}{6(b - c_2)(L - c_1)} \]
\midpar

中间要计算的体积是
\[ V = \frac{h[(Lb - c_1c_2)^3 - (b - c_2)^3c_1^3 - (L - c_1)^3c_2^3]}
       {6(b - c_2)(L - c_1)(Lb - c_1c_2)}
\]
最后经过计算，它的重心的~$x,y$~坐标只与~$b,L,c_1,c_2$~有关，与高度无关。
因为尺寸~$b,L$~是不变的，所以重心坐标可以表示成
\[ x = x(c_1,c_2),\quad y = y(c_1,c_2) \]
表示是可以表示出来的，但是比较复杂。而且还有奇点，在极端情况下计算会失
效。并且不能反向表示。所以使用不太方便。\midpar


\subsection{分类}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/add_5.jpg}
\end{center}
基础的偏心率~$e_x,e_y$~要满足
\[ e_x \in [0,\frac{b}{2}],\quad e_y \in [0,\frac{L}{2}] \]
根据偏心率的不同，地基反力的形状有五种情况。当
\[ \frac{e_x}{b/6} + \frac{e_y}{L/6} \leq 1 \]
时，基础不出现零应力区。其它如图所示。周边四种情况都可以直接计算。中间
的情况是大棱锥减去两个小棱锥。这种情况有点复杂。\midpar

计算出来的偏心率使用~$(x,y)$~来表示。这是一个矢量
\[ \vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} \]
\[ x = x(c_1,c_2),\quad y = y(c_1,c_2) \]
所以这个矢量表示为
\[ \vec{r} = \vec{r}(c_1,c_2) \]
它的两个偏导数是两个矢量
\[ \pft{\vec{r}}{c_1} = \vec{a}_1,\quad \pft{\vec{r}}{c_2} = \vec{a}_2 \]
那么它的全微分是
\[ d\vec{r} = \vec{a}_1dc_1 + \vec{a}_2dc_2 \]
近似的情形就是
\[ \Delta\vec{r} = \Delta c_1\vec{a}_1 + \Delta c_1\vec{a}_2 \]
\midpar

对于一元函数~$y = f(x),x\in[a,b]$~的情形，要找到某个点~$x_0\in[a,b]$~
使得它满足
\[ y_0 = f(x_0) \]
可以把区间~$[a,b]$~平分成三份，共四个点
\[ x_1 = a + \frac{(b - a)i}{3},\quad (i = 0,1,2,3) \]
分别计算出这四个点的函数值，找到其中函数值与~$y_0$~相差最小的那个点，
比如说是~$x_i$~点。这样得到一个闭区间
\[ [x_i - \frac{b - a}{3},x_i + \frac{b - a}{3}] \]
这样搜索区间的长度就变成原来的三分之二。只是这个收敛速度有点慢。这里实
际上是二元的情形。实际上是类似的，只是表示上比一元的情况要复杂一些。
\midpar

确定了~$c_1,c_2$~之后，再确定高度~$h$，也就是最大地基反力。现在要调整
高度~$h$~以使得它的体积等于作用于底面的竖向力~$N$。也就是等式
\[ V(c_1,c_2,h) = N \]
已知~$h$~的下限是零，所以只需要计算出上限即可。对于上面的等式来说，如
果~$c_1,c_2$~减小的话，高度~$h$~就得增大。当这两个参数为零时，就可以得
到~$h$~的上限。也就是使用等式
\[ V(0,0,h_{max}) = N \]
来计算高度的上限。这时它刚好是底面积最大的棱锥。其结果是
\[ h_{max} = \frac{6N}{bL} \]
这就是高度的上限。只需要在这个范围内搜索就可以了。然后使用二分法来计算
合适的高度。

